Divisibilidad

Qué es la Divisibilidad:

La divisibilidad es la cualidad de un cuerpo u objeto de dividirse. Dividir significa separar de un total en partes iguales. La diferencia entre dividir y divisibilidad es que la divisibilidad tiene un resultado medible y exacto.

Dividir también puede ser definido como una cualidad tanto positiva como negativa de una persona. Por ejemplo, una persona que divide puede significar que es generosa, altruista y justa o, en otro contexto, puede significar que es una persona fría y racional.

Podemos encontrar muchas frases que mencionan el acto de dividir como una operación o un valor presente en el razonamiento y en la lógica del ser humano. Algunas de ellas son:

• “Los hombres, desde niños, aprenden a dividirse en lobos y corderos”. Jaime Campmany
• “Es absurdo dividir a la gente en buena y mala. La gente es tan solo encantadora o aburrida”. Oscar Wilde
• “La historia deriva en el hecho de que se ha aprendido a dividir átomos antes que unir a los hombres”. Anónimo

 

Divisibilidad en matemáticas

La divisibilidad en las matemáticas se refiere a la propiedad de los números enteros (números sin decimales) de dividirse por otro número entero y que su resultado sea a su vez un número entero.

Por ejemplo, los números 3, 6, 9 y 12 tienen divisibilidad por 3, porque cuando divides cada uno de esos números enteros por 3 resultan números enteros: 1, 2, 3 y 4.

La operación aritmética para dividir se llama división, que se compone de un divisor y un dividendo. El divisor es el número del total que queremos dividir y el dividendo es el número de partes que queremos saber que caben en el número total (divisor).

Algunas de las propiedades que se deben tomar en cuenta para facilitar el ejercicio de la divisibilidad son:

• Los números divisibles solo se componen de números enteros distintos a cero.
• Todos los números son divisibles por 1 y por sí propio.

 

Definición

El número entero ${\displaystyle a}$ es divisible entre el número entero ${\displaystyle b\neq 0}$ (o lo que es lo mismo, b divide a a) si hay un número ${\displaystyle q}$ entero, tal que ${\displaystyle a=b\cdot q}$.

Este hecho se denomina divisibilidad del número entero ${\displaystyle a}$ por el número entero ${\displaystyle b}$ y se denota por ${\displaystyle b|a}$; que no es otra cosa que una afirmación entre los números enteros, que, en un contexto concreto, puede ser cierta o no.​ Por ejemplo ${\displaystyle 3|12}$ es cierta; sin embargo, ${\displaystyle 3|17}$ no es cierta. Si ${\displaystyle b}$ no es divisor de ${\displaystyle a}$ escribimos ${\displaystyle b\nmid a}$. Notemos que ${\displaystyle 0\nmid a}$ para todo ${\displaystyle a}$ distinto de cero, pues ${\displaystyle a\neq 0=k\cdot 0}$ para todo ${\displaystyle k}$ entero.

 

Criterios o reglas de divisibilidad

Los criterios o reglas de divisibilidad son unas «reglas» que empleamos para saber si un número es divisible entre otro sin necesidad de tener que realizar la división.

Son de gran utilidad ya que, por ejemplo, nos ayudan a encontrar con facilidad los divisores de un número, nos sirven especialmente cuando tenemos que descomponer números en factores primos, o para saber si un número es primo o compuesto, para simplificar fracciones, etc.

 

Propiedades

Sean ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }$, es decir ${\displaystyle \ a}$, ${\displaystyle \ b}$ y ${\displaystyle \ c}$ son números enteros. Tenemos las propiedades básicas:

• Si ${\displaystyle a\neq 0}$ entonces ${\displaystyle a\mid a}$ (Propiedad reflexiva).
• si ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle b\mid a}$ entonces ${\displaystyle |a|=|b|}$ . Son iguales o bien uno es el opuesto del otro.
• Cuando ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle b\mid c}$, entonces ${\displaystyle a\mid c}$ (Propiedad transitiva).
• Si ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle b\neq 0}$, entonces ${\displaystyle |a|\leq |b|}$.
• ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle a\mid c}$, implica ${\displaystyle a\mid \beta b+\gamma c\ \ \forall \ \beta ,\gamma \in \mathbb {Z} }$. Divisor de la combinación lineal
• ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle a\mid c}$, implica ${\displaystyle a\mid \theta b^{k}+\kappa c^{j}\ \ \forall \ \theta ,\kappa ,k,j\in \mathbb {Z} }$. Divisor de la combinación lineal de potencias^.​
• Si ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle a\mid b\pm \ c}$, entonces ${\displaystyle a\mid c}$
• De ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle a\neq 0}$, se deduce ${\displaystyle {\frac {b}{a}}\mid b}$.Divisores conjugados.
• Para ${\displaystyle c\neq 0}$, ${\displaystyle a\mid b}$ si y solo si ${\displaystyle ac\mid bc}$
• Si ${\displaystyle a\mid bc}$ y ${\displaystyle \ \operatorname {mcd} (a,b)=1}$, entonces ${\displaystyle a\mid c}$.
• Cuando ${\displaystyle \ \operatorname {mcd} (a,b)=1}$ y ${\displaystyle \ c}$ cumple que ${\displaystyle a\mid c}$ y ${\displaystyle b\mid c}$, entonces ${\displaystyle ab\mid c}$.
• ${\displaystyle n\mid 0}$ y ${\displaystyle 1\mid n}$ para todo ${\displaystyle \ n}$ entero ya que ${\displaystyle 0=0\cdot n}$ y ${\displaystyle n=n\cdot 1}$.
• ${\displaystyle 1\mid \operatorname {mcd} (a,b)\mid a\mid \operatorname {mcm} (a,b)\mid 0}$
• abcd es divisible entre n-1 si, solo si a+b+c+d es múltiplo de (n-1), siempre que abcd esté escrito en la base n, (n≥ 3 ) ​.
• Si mcd(a,b) = 1 no cabe a^k = b^h para cualesquiera h, k números enteros positivos; potencias de coprimos no son iguales en ningún caso. ​
• En cualquier sistema de numeración para chequear si N es múltiplo de h, divisor de la base, basta analizar la última cifra de N. Así en la numeración decimal, para saber si N es múltiplo de 5, basta ver si la última cifra es 5 o cero. En la base doce para saber si N es divisible entre 6, basta ver si termina en 6 o cero. En el sistema hexadecimal, para chequear si N es múltiplo de 4 basta ver que termina en uno de estos dígitos: 0, 4, 8, C.
  

Número de divisores

Si la factorización en números primos de n viene dada por

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

entonces el número de divisores positivos de n es

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

y cada uno de los divisores tiene la forma

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

donde ${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$ para cada ${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$.  ​