Teoría de grafos y sus Tipos

 

Teoría de grafos

La teoría de grafos, también llamada teoría de gráficas, es una rama de las matemáticas y las ciencias de la computación que estudia las propiedades de los grafos. Los grafos no deben ser confundidos con las gráficas, que es un término muy amplio. Formalmente, un grafo ${\displaystyle G=(V,E)}$ es una pareja ordenada en la que ${\displaystyle V}$ es un conjunto no vacío de vértices y ${\displaystyle E}$ es un conjunto de aristas. Donde ${\displaystyle E}$ consta de pares no ordenados de vértices, tales como ${\displaystyle \left\{x,y\right\}\in E}$, entonces se dice que ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ son adyacentes; y en el grafo se representa mediante una línea no orientada que una dichos vértices. Si el grafo es dirigido se le llama dígrafo, se denota ${\displaystyle D}$, y entonces el par ${\displaystyle (x,y)}$ es un par ordenado, esto se representa con una flecha que va de ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$ y se dice que ${\displaystyle (x,y)\in E}$.​

La teoría de grafos tiene sus fundamentos en las matemáticas discretas y de las matemáticas aplicadas. Esta teoría requiere de diferentes conceptos de diversas áreas como combinatoria, álgebra, probabilidad, geometría de polígonos, aritmética y topología. Actualmente ha tenido mayor influencia en el campo de la informática, las ciencias de la computación y telecomunicaciones. Debido a la gran cantidad de aplicaciones en la optimización de recorridos, procesos, flujos, algoritmos de búsquedas, entre otros, se generó toda una nueva teoría que se conoce como análisis de redes.

Tipos de grafos

• Grafo simple: O simplemente grafo es aquel que acepta una sola arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Es la definición estándar de un grafo.

• Multigrafo o pseudografo: Es el que acepta más de una arista entre dos vértices. Estas aristas se llaman múltiples o lazos (loops en inglés). Los grafos simples son una subclase de esta categoría de grafos. También se les llama grafos general.

• Grafo orientado: grafo dirigido o dígrafo. Son grafos en los cuales se ha añadido una orientación a las aristas, representada gráficamente por una flecha.

• Grafo etiquetado: Grafos en los cuales se ha añadido un peso a las aristas (número entero generalmente) o un etiquetado a los vértices.

• Grafo aleatorio: Grafo cuyas aristas están asociadas a una probabilidad.

• Hipergrafo: Grafos en los cuales las aristas tienen más de dos extremos, es decir, las aristas son incidentes a 3 o más vértices.

• Grafo infinito: Grafos con conjunto de vértices y aristas de cardinal infinito.

• Grafo plano: Los grafos planos son aquellos cuyos vértices y aristas pueden ser representados sin ninguna intersección entre ellos. Podemos establecer que un grafo es plano gracias al Teorema de Kuratowski.

• Grafo regular: Un grafo es regular cuando todos sus vértices tienen el mismo grado de valencia.

• Grafo dual: El grafo dual G´ de un grafo G (plano), es aquel que tiene un vértice por cada región de G, y una arista por cada arista en G uniendo dos regiones vecinas.

 Grafo Pez

Grafo Arco

Grafo Dodecaedro

 

 Composición de un grafo.

• Aristas: Son las líneas que unen los vértices de un grafo.

  • Aristas adyacentes: Dos aristas son adyacentes si convergen en el mismo vértice.

  • Aristas paralelas: Dos aristas son paralelas si los vértices iniciales y finales son el mismo.

  • Arista cíclicas: Aristas que parten de un vértice para entrar en el mismo.

  • Cruce: Punto donde dos aristas se cruzan.

• Vértices: Los vértices son los elementos que forman un grafo. Cada uno lleva asociada una valencia característica según la situación, que se corresponde con la cantidad de aristas que confluyen en dicho vértice.

• Camino: Se denomina camino a un conjunto de vértices interconectados por aristas. Dos vértices están conectados si hay un camino entre ellos.

Caracterización de grafos.

Grafo simple

Un grafo es simple si a lo sumo existe una arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. 

 

Un grafo que no es simple se denomina multigrafo. 

 

Un la Teoría de grafos el concepto de grafo simple es muy recurrido en la definición de otros entes, como los de grafos completos, grafos bipartidos completos, árboles y otros más. 

 

Las definiciones aportan una formalización lógica a hechos abstractos o naturales, muchas veces ya definidos de forma intuitiva. En este caso la imagen de grafo simple es fácil de reconocer ante otro que no lo es; bien por la presencia de lazos o de más de una arista entre los pares de vértices.

 

Grafos conexos

Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b.

Un grafo es doblemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.

Es posible determinar si un grafo es conexo usando un algoritmo Búsqueda en anchura (BFS) o Búsqueda en profundidad (DFS).

En términos matemáticos la propiedad de un grafo (fuertemente) conexo permite establecer una relación de equivalencia para sus vértices, la cual lleva a una partición de estos en "componentes (fuertemente) conexos", es decir, porciones del grafo, que son (fuertemente) conexas cuando se consideran como grafos aislados. Esta propiedad es importante para muchas demostraciones en teoría de grafos.

Grafo conexo y no conexo

 

Grafos completos

Artículo principal: Grafo completo

Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista e que los une.

El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente ${\displaystyle \mathbb {K} }$, siendo ${\displaystyle \mathbb {K} _{n}}$ el grafo completo de n vértices.

Un ${\displaystyle \mathbb {K} _{n}}$, es decir, grafo completo de ${\displaystyle n}$ vértices tiene exactamente ${\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$ aristas.

La representación gráfica de los ${\displaystyle \mathbb {K} _{n}}$ como los vértices de un polígono regular da cuenta de su peculiar estructura.

Grafos Bipartitos

Artículo principal: Grafo bipartito

Un grafo G es bipartito si puede expresar como ${\displaystyle G=\{V_{1}\cup V_{2},A\}}$ (es decir, sus vértices son la unión de dos grupos de vértices), bajo las siguientes condiciones:

• ${\displaystyle V_{1}}$ y ${\displaystyle V_{2}}$ son disjuntos y no vacíos.
• Cada arista de A une un vértice de V₁ con uno de V₂.
• No existen aristas uniendo dos elementos de V₁; análogamente para V₂.

Bajo estas condiciones, el grafo se considera bipartito, y puede describirse informalmente como el grafo que une o relaciona dos conjuntos de elementos diferentes, como aquellos resultantes de los ejercicios y rompecabezas en los que debe unirse un elemento de la columna A con un elemento de la columna B.

 Homeomorfismo de grafos

Artículo principal: Homeomorfismo de grafos

Dos grafos ${\displaystyle G_{1}}$ y ${\displaystyle G_{2}}$ son homeomorfos si ambos pueden obtenerse a partir del mismo grafo con una sucesión de subdivisiones elementales de aristas.

Árboles

Artículo principal: Árbol (teoría de grafos)

Ejemplo de árbol.

Un grafo que no tiene ciclos y que conecta a todos los puntos, se llama un árbol. En un grafo con n vértices, los árboles tienen exactamente n - 1 aristas, y hay n^n-2 árboles posibles. Su importancia radica en que los árboles son grafos que conectan todos los vértices utilizando el menor número posible de aristas. Un importante campo de aplicación de su estudio se encuentra en el análisis filogenético, el de la filiación de entidades que derivan unas de otras en un proceso evolutivo, que se aplica sobre todo a la averiguación del parentesco entre especies; aunque se ha usado también, por ejemplo, en el estudio del parentesco entre lenguas.

Grafos ponderados o etiquetados

En muchos casos, es preciso atribuir a cada arista un número específico, llamado valuación, ponderación o coste según el contexto, y se obtiene así un grafo valuado. Formalmente, es un grafo con una función v: A → R₊.

Por ejemplo, un representante comercial tiene que visitar n ciudades conectadas entre sí por carreteras; su interés previsible será minimizar la distancia recorrida (o el tiempo, si se pueden prever atascos). El grafo correspondiente tendrá como vértices las ciudades, como aristas las carreteras y la valuación será la distancia entre ellas.

Diámetro

En la figura se nota que K₄ es plano (desviando la arista ab al exterior del cuadrado), que K₅ no lo es, y que K₃,₂ lo es también (desvíos en gris).

En un grafo, la distancia entre dos vértices es el menor número de aristas de un recorrido entre ellos. El diámetro, en una figura como un grafo, es la mayor distancia entre todos los pares de puntos de la misma.

El diámetro de los K_n es 1, y el de los K_n,_p es 2. Un diámetro infinito puede significar que el grafo tiene una infinidad de vértices o simplemente que no es conexo. También se puede considerar el diámetro promedio, como el promedio de las distancias entre dos vértices.

Una aplicación de este concepto es la hipótesis conocida como los seis grados de separación, que plantea que, si cada uno de los habitantes de la Tierra se representa por un vértice y dos personas están conectadas por una arista si se conocen personalmente, la distancia entre dos personas escogidas al azar entre todos los habitantes de la Tierra es de seis aristas o menos.

Internet permite de ver desde otro enfoque la idea del diámetro: considérese por ejemplo que si se descartan los sitios que no tienen enlaces, y se escogen dos páginas web al azar, cabría preguntarse en cuántos clics se puede pasar del primer sitio al segundo. Si se supone que de cualquier sitio que enlace con otros sitios se puede llegar a cualquier otro, entonces las mayor cantidad de clics necesarios para llegar de cualquier web a otra sería el "diámetro" de la Red, vista como un grafo cuyos vértices son los sitios, y cuyas aristas son los enlaces entre los sitios.